一元二次方程的根与新定义、抛物线、反比例相关的问题——《顶尖中考数学微专题》部分试题解析(3)
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说明：经福建人民出版社同意，将陆续发布《顶尖中考微专题》的部分试题解析，弥补因版面限制而带来的不足，也希望能给读者朋友在学习和使用中所遇到的一些困惑提供帮助.若需要购买这本书的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》”(直接点击打开)阅读购买方法和购买链接，若需要视频详细解析的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》例、习题视频讲解(共1487分钟)—与书配套视频”(直接点击打开)，可参考视频中的解答.
【试题】(P.8压轴突破5)
(2017·荆州)规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；
②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax＋c＝0(a≠0)是倍根方程，则抛物线y＝ax2﹣6ax＋c与x轴的公共点的坐标是(2，0)和(4，0)；
④若点(m，n)在反比例函数y＝4/x的图象上，则关于x的方程mx2＋5x＋n＝0是倍根方程．上述结论中正确的有 ．
【解析】各个选项逐个分析如下：
①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；
【解析】不难求得方程x2＋2x﹣8＝0的两根为－4和2，显然不符合倍根的条件，因此这个结论是错误的.
②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；
【解析】依题意，设两根分别为m、2m.
法一：两根分别代入，得：
（接下来的解法过程，大家可以阅读书中的解答过程），得到a=±3，因此这个结论是正确的.
法二：用“根与系数的关系“来解，
③若关于x的方程ax2﹣6ax＋c＝0(a≠0)是倍根方程，则抛物线y＝ax2﹣6ax＋c与x轴的公共点的坐标是(2，0)和(4，0)；
【解析】由“原方程是倍根方程“可设两根为m、2m，则对应的抛物线与x轴的两交点坐标为（m，0）和（2m,0）,则可得到该抛物线的对称轴为直线x=(m+2m)/2=1.5m，另一方面由抛物线的解析式y＝ax2﹣6ax＋c可得到抛物线的对称轴为直线x=3，综合上述，可得1.5m＝3，解得m=2，所以抛物线与x轴交点为(2，0)和(4，0)，因此这个结论也是正确的.
④若点(m，n)在反比例函数y＝4/x的图象上，则关于x的方程mx2＋5x＋n＝0是倍根方程．
【解析】依题意可得n=4/m,代入原方程，得mx2＋5x＋4/m＝0，有:
(mx2+x)+(4x+4/m)=0，
即mx(x+1/m)+4(x+1/m)=0
得到(x+1/m) (mx+4)=0
因m≠0，所以有
x1=－1/m，x2=－4/m
得到x2=4x1≠2x1
所以原方程不是倍根方程.
因此这个结论是错误的.
（说明：解关于x的方程mx2＋5x＋4/m＝0绕开了“十字相乘法“（因课本内容为选学），当用此法快！）
综上所述，正确的结论是②和③
【反思】新定义题的解题关键是理解好定义，结合相关结论进行求解，当然本题的解决需要一定的计算能力和胆识，这就要求同学们平时要熟练掌握常用的典型的有关数、式、方程（组）的相关计算.
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